Способы решения логических задач. Метод рассуждений

Способы решения логических задач

Способов их решения логических задач несколько, наибольшее распространение получили следующие три способа:

• с помощью рассуждений;
• табличный;
• средствами алгебры логики.

Метод рассуждений

Этим способом обычно решают несложные логические задачи.

Пример 1. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

Решение. Имеется три утверждения:

1.     Вадим изучает китайский;

2.     Сергей не изучает китайский;

3.     Михаил не изучает арабский.

Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно.

Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно.

Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе — ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей.

Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский, Вадим — арабский.

Пример 2. В поездке пятеро друзей — Антон, Борис, Вадим, Дима и Гриша, знакомились с попутчицей. Они предложили ей отгадать их фамилии, причём каждый из них высказал одно истинное и одно ложное утверждение:

Дима сказал: "Моя фамилия — Мишин, а фамилия Бориса — Хохлов". Антон сказал: "Мишин — это моя фамилия, а фамилия Вадима — Белкин". Борис сказал: "Фамилия Вадима — Тихонов, а моя фамилия — Мишин". Вадим сказал: "Моя фамилия — Белкин, а фамилия Гриши — Чехов". Гриша сказал: "Да, моя фамилия Чехов, а фамилия Антона — Тихонов".

Какую фамилию носит каждый из друзей?

Решение. Обозначим высказывательную форму "юноша по имени А носит фамилию Б" как А_Б, где буквы А и Б соответствуют начальным буквам имени и фамилии.

Зафиксируем высказывания каждого из друзей:

1.     Д_М   и   Б_Х;

2.     А_М   и   В_Б;

3.     В_Т   и   Б_М;

4.     В_Б   и   Г_Ч;

5.     Г_Ч   и   А_Т.

Допустим сначала, что истинно Д_М. Но, если истинно Д_М, то у Антона и у Бориса должны быть другие фамилии, значит А_М и Б_М ложно. Но если А_М и Б_М ложны, то должны быть истинны В_Б и В_Т, но В_Б и В_Т одновременно истинными быть не могут.

Значит остается другой случай: истинно Б_Х. Этот случай приводит к цепочке умозаключений: 
Б_Х истинно, следовательно Б_М ложно, следовательно  В_Т истинно, следовательно  А_Т ложно, следовательно  Г_Ч истинно, следовательно  В_Б ложно, следовательно А_М истинно.

Ответ: Борис — Хохлов, Вадим — Тихонов, Гриша — Чехов, Антон — Мишин, Дима — Белкин.

Пример 3.Министры иностранных дел России, США и Китая обсудили за закрытыми дверями проекты соглашения о полном разоружении, представленные каждой из стран. Отвечая затем на вопрос журналистов: "Чей именно проект был принят?", министры дали такие ответы:

Россия — "Проект не наш, проект не США";
США — "Проект не России, проект Китая";
Китай — "Проект не наш, проект России".

Один из них (самый откровенный) оба раза говорил правду; второй (самый скрытный) оба раза говорил неправду, третий (осторожный) один раз сказал правду, а другой раз — неправду.

Определите, представителями каких стран являются откровенный, скрытный и осторожный министры.

Решение. Для удобства записи пронумеруем высказывания дипломатов:

Россия — "Проект не наш"   (1),   "Проект не США"   (2);
США —   "Проект не России"   (3),   "Проект Китая"   (4);
Китай —   "Проект не наш"   (5),   "Проект России"   (6).

Узнаем, кто из министров самый откровенный.

Если это российский министр, то из справедливости (1) и (2) следует, что победил китайский проект. Но тогда оба утверждения министра США тоже справедливы, чего не может быть по условию.

Если самый откровенный — министр США, то тогда вновь получаем, что победил китайский проект, значит оба утверждения российского министра тоже верны, чего не может быть по условию.

Получается, что наиболее откровенным был китайский министр. Действительно, из того, что (5) и (6) справедливы, cледует, что победил российский проект. А тогда получается, что из двух утверждений российского министра первое ложно, а второе верно. Оба же утверждения министра США неверны.

Ответ: Откровеннее был китайский министр, осторожнее — российский, скрытнее — министр США.

Пример 4. Разбитое стекло

Три школьника, Миша (М), Коля (К) и Сергей (С), остававшиеся в классе на перемене, были вызваны к директору по поводу разбитого в это время окна в кабинете. На вопрос директора о том, кто это сделал, мальчики ответили следующее:

Миша: "Я не бил окно, и Коля тоже..."

Коля: "Миша не разбивал окно, это Сергей разбил футбольным мячом!"

Сергей: "Я не делал этого, стекло разбил Миша".

Стало известно, что один из ребят сказал чистую правду, второй в одной части заявления соврал, а другое его высказывание истинно, а третий оба факта исказил. Зная это, директор смог докопаться до истины. 

Кто разбил стекло в классе? 

Решение. Начнем рассуждение с того, что Миша не может быть неправ в обоих своих высказываниях, потому что в этом случае получится, что стек­ло разбили одновременно и Миша, и Коля.

Значит, Миша говорит правду или полуправду.

1.  Если Миша говорит правду, то стекло однозначно разбил Сер­гей.

Тогда остается два варианта — лжет либо Коля, либо Сергей.

2. Допустим, лжет Коля. Тогда из его высказываний следует, что стекло разбил Миша. Несоответствие у Коли с Мишей.

3. Допустим, лжет Сергей. Тогда из его высказываний следует, что стекло разбил он, а Миша не бил. Пока все логично. Допустим, Коля лжет в своем первом утверждении, но тогда стекло разбил Миша, а не Сергей. Что-то не сходится.

Допустим, Коля лжет в своем втором утверждении, но тогда стекло разбил сам Коля. Не годится...

Итак, ситуация несколько прояснилась — Миша не лжет, но и правды не говорит.

Значит, он прав только наполовину.

· Допустим, на первую. Тогда стекло разбил Коля.

Но из высказываний Коли, что бы он ни говорил — правду или ложь, никак не следует, что стекло разбил Коля. Этот ва­риант отпал.

·Остался последний вариант: Миша говорит правду только во втором своем высказывании.

Из этого следует, что стекло разбил собственно он.

И дальше все просто — Коля лжет, а Сергей говорит чистую правду.

Ответ: стекло разбил Михаил

Пример 5. Четыре подруги — Маша, Полина, Ольга и Наташа — участвовали в соревнованиях по бегу и заняли первые че­тыре места.

Установите, какое место заняла каждая девушка, если известно, что в каждом из приведенных ниже ответов, которые дали

девушки опоздавшему к финишу корреспонден­ту, верной является лишь половина.

Наташа: «Ольга была второй, а Полина — первой».

Маша: «Нет, Наташа. Ольга была первой, а второй была ты».

Ольга: «Да, что вы, девочки! Маша была третьей, а По­лина прибежала четвертой».

Решение. Начнём рассуждение с предположения: 1. Пусть в ответе Наташи первое утверждение истинное, а второе — ложное, т. е. Ольга — вторая, Полина не первая.

2. Так как Ольга — вторая (по предположению), то в от­вете Маши первое утверждение ложное, а второе ис­тинное, т. е. Наташа — вторая. Но вторая — Ольга (по предположению).

Получили противоречие, значит, наше предположение неверно.

Тогда предположим, что

1. в ответе Наташи первое утверждение — ложное, а второе — истинное, т. е. Ольга не вторая, Полина — первая.

2. Так как Полина — первая (по предположению), то в от­вете Маши первое утверждение — ложное, а второе — истинное, т. е. Ольга не первая, Наташа — вторая.

3. Так как Полина — первая (по предположению), то в от­вете Ольги второе утверждение — ложное, а первое — истинное, т. е. Маша была третьей. Тогда сама Ольга была четвертой.